개요
삼각 부등식(Triangleequality)은 선대수학에서 벡 공간의 노름orm)이 만해야 하는 핵심 성질 중 하나로, 두 벡터의 합의 크기가 각 벡터의 크기의 합보다 작거나 같다는 원리를 수학적으로 표현한 것이다. 이 부등식은 기하학적 직관에서 유래되었으며, 삼각형에서 임의의 두 변의 길이의 합이 세 번째 변의 길이보다 항상 크거나 같아야 한다는 성질을 일반화한 것이다.
삼각 부등식은 노름의 정의에 포함되는 네 가지 공리 중 하나로, 벡터 공간의 거리 구조를 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다. 이는 함수해석학, 최적화, 머신러닝 등 다양한 분야에서 응용된다.
정의
벡터 공간 ( V ) 위에서 정의된 노름 ( |\cdot| )는 다음의 네 가지 성질을 만족해야 한다:
- 비음성성 (Non-negativity): ( | \mathbf{v} | \geq 0 ), 그리고 ( | \mathbf{v} | = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0} )
- 동차성 (Homogeneity): ( | \alpha \mathbf{v} | = |\alpha| \cdot | \mathbf{v} | ) (단, ( \alpha \in \mathbb{R} ) 또는 ( \mathbb{C} ))
- 삼각 부등식 (Triangle Inequality): ( | \mathbf{u} + \mathbf{v} | \leq | \mathbf{u} | + | \mathbf{v} | ) (모든 ( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V ))
- 분리성: 위의 1번에서 이미 포함됨.
여기서 삼각 부등식은 다음과 같은 형태로 표현된다:
[
| \mathbf{u} + \mathbf{v} | \leq | \mathbf{u} | + | \mathbf{v} |
]
이 부등식은 모든 벡터 ( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V )에 대해 성립해야 하며, 노름이 "거리"의 의미를 갖도록 보장한다.
기하학적 의미
삼각 부등식의 이름은 유클리드 기하학에서 유래하였다. 평면 상의 세 점 ( A, B, C )로 구성된 삼각형에서, 변 ( AB )와 ( BC )의 길이의 합은 항상 변 ( AC )의 길이보다 크거나 같아야 한다:
[
AB| + |BC| \geq |AC|
]
벡터를 사용하면, ( \vec{AB} = \mathbf{u} ), ( \vec{BC} = \mathbf{v} )라고 하면 ( \vec{AC} = \mathbf{u} + \mathbf{v} )이 되고, 이에 따라:
[
| \mathbf{u} + \mathbf{v} | \leq | \mathbf{u} | + | \mathbf{v} |
]
이 된다. 즉, 두 벡터를 순차적으로 더할 때 그 결과 벡터의 길이는 각각의 길이를 더한 값보다 길어질 수 없다. 이는 "최단 거리는 직선이다"라는 직관과 일치한다.
다양한 노름에서의 삼각 부등식
삼각 부등식은 노름의 종류에 따라 구체적인 형태가 달라질 수 있다. 대표적인 노름들에 대해 살펴보자.
[
| \mathbf{x} |2 = \sqrt{\sum{i=1}^n x_i^2}
]
이 경우 삼각 부등식은 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz Inequality)을 이용하여 증명할 수 있다. 즉,
[
| \mathbf{u} + \mathbf{v} |_2^2 = | \mathbf{u} |_2^2 + 2\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + | \mathbf{v} |_2^2 \leq | \mathbf{u} |_2^2 + 2| \mathbf{u} |_2 | \mathbf{v} |_2 + | \mathbf{v} |_2^2 = (| \mathbf{u} |_2 + | \mathbf{v} |_2)^2
]
따라서 ( | \mathbf{u} + \mathbf{v} |_2 \leq | \mathbf{u} |_2 + | \mathbf{v} |_2 ).
[
| \mathbf{x} |1 = \sum{i=1}^n |x_i|
]
여기서 삼각 부등식은 절댓값의 삼각 부등식 ( |a + b| \leq |a| + |b| )를 각 성분에 적용하여 쉽게 증명된다.
[
| \mathbf{u} + \mathbf{v} |1 = \sum{i=1}^n |u_i + v_i| \leq \sum_{i=1}^n (|u_i| + |v_i|) = | \mathbf{u} |_1 + | \mathbf{v} |_1
]
[
| \mathbf{x} |\fty = \max{1 \leq i \leq n} |x_i|
]
이 경우,
[
|u_i + v_i| \leq |u_i| + |v_i| \leq | \mathbf{u} |\infty + | \mathbf{v} |\infty
]
모든 ( i )에 대해 성립하므로,
[
| \mathbf{u} + \mathbf{v} |\infty = \max_i |u_i + v_i| \leq | \mathbf{u} |\infty + | \mathbf{v} |_\infty
]
삼각 부등식과 관련된 또 다른 유용한 부등식으로 역삼각 부등식(Reverse Triangle Inequality)이 있다. 이는 다음과 같이 표현된다:
[
\big| | \mathbf{u} | - | \mathbf{v} | \big| \leq | \mathbf{u} - \mathbf{v} |
]
이 부등식은 두 벡터의 노름 차이가 그 차 벡터의 노름보다 클 수 없다는 것을 의미하며, 거리 함수의 연속성 증명 등에 자주 사용된다.
응용
- 거리 함수 정의: 노름으로부터 유도되는 거리 ( d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = | \mathbf{u} - \mathbf{v} | )는 삼각 부등식을 만족해야 하며, 이는 거리공간의 정의에 필수적이다.
- 수렴성 분석: 수열의 노름 수렴을 다룰 때, 삼각 부등식은 오차의 상한을 추정하는 데 사용된다.
- 최적화 문제: 목표 함수 또는 제약 조건에서 노름을 사용할 때, 삼각 부등식은 해의 존재성과 수렴성을 보장하는 데 기여한다.
- 기계학습: 정규화(regularization) 기법(L1, L2 정규화)에서 노름의 성질이 중요하며, 삼각 부등식은 모델의 안정성 분석에 활용된다.
참고 자료
- Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. Springer, 2015.
- Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 2016.
- Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill, 1976.
관련 문서
# 삼각 부등식
## 개요
**삼각 부등식**(Triangleequality)은 선대수학에서 벡 공간의 노름orm)이 만해야 하는 핵심 성질 중 하나로, 두 벡터의 합의 크기가 각 벡터의 크기의 합보다 작거나 같다는 원리를 수학적으로 표현한 것이다. 이 부등식은 기하학적 직관에서 유래되었으며, 삼각형에서 임의의 두 변의 길이의 합이 세 번째 변의 길이보다 항상 크거나 같아야 한다는 성질을 일반화한 것이다.
삼각 부등식은 노름의 정의에 포함되는 네 가지 공리 중 하나로, 벡터 공간의 거리 구조를 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다. 이는 함수해석학, 최적화, 머신러닝 등 다양한 분야에서 응용된다.
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## 정의
벡터 공간 \( V \) 위에서 정의된 노름 \( \|\cdot\| \)는 다음의 네 가지 성질을 만족해야 한다:
1. **비음성성 (Non-negativity)**: \( \| \mathbf{v} \| \geq 0 \), 그리고 \( \| \mathbf{v} \| = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0} \)
2. **동차성 (Homogeneity)**: \( \| \alpha \mathbf{v} \| = |\alpha| \cdot \| \mathbf{v} \| \) (단, \( \alpha \in \mathbb{R} \) 또는 \( \mathbb{C} \))
3. **삼각 부등식 (Triangle Inequality)**: \( \| \mathbf{u} + \mathbf{v} \| \leq \| \mathbf{u} \| + \| \mathbf{v} \| \) (모든 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \))
4. **분리성**: 위의 1번에서 이미 포함됨.
여기서 **삼각 부등식**은 다음과 같은 형태로 표현된다:
\[
\| \mathbf{u} + \mathbf{v} \| \leq \| \mathbf{u} \| + \| \mathbf{v} \|
\]
이 부등식은 모든 벡터 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \)에 대해 성립해야 하며, 노름이 "거리"의 의미를 갖도록 보장한다.
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## 기하학적 의미
삼각 부등식의 이름은 유클리드 기하학에서 유래하였다. 평면 상의 세 점 \( A, B, C \)로 구성된 삼각형에서, 변 \( AB \)와 \( BC \)의 길이의 합은 항상 변 \( AC \)의 길이보다 크거나 같아야 한다:
\[
AB| + |BC| \geq |AC|
\]
벡터를 사용하면, \( \vec{AB} = \mathbf{u} \), \( \vec{BC} = \mathbf{v} \)라고 하면 \( \vec{AC} = \mathbf{u} + \mathbf{v} \)이 되고, 이에 따라:
\[
\| \mathbf{u} + \mathbf{v} \| \leq \| \mathbf{u} \| + \| \mathbf{v} \|
\]
이 된다. 즉, 두 벡터를 순차적으로 더할 때 그 결과 벡터의 길이는 각각의 길이를 더한 값보다 길어질 수 없다. 이는 "최단 거리는 직선이다"라는 직관과 일치한다.
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## 다양한 노름에서의 삼각 부등식
삼각 부등식은 노름의 종류에 따라 구체적인 형태가 달라질 수 있다. 대표적인 노름들에 대해 살펴보자.
### 1. 유클리드 노름 (L² 노름)
\[
\| \mathbf{x} \|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}
\]
이 경우 삼각 부등식은 **코시-슈바르츠 부등식**(Cauchy-Schwarz Inequality)을 이용하여 증명할 수 있다. 즉,
\[
\| \mathbf{u} + \mathbf{v} \|_2^2 = \| \mathbf{u} \|_2^2 + 2\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \| \mathbf{v} \|_2^2 \leq \| \mathbf{u} \|_2^2 + 2\| \mathbf{u} \|_2 \| \mathbf{v} \|_2 + \| \mathbf{v} \|_2^2 = (\| \mathbf{u} \|_2 + \| \mathbf{v} \|_2)^2
\]
따라서 \( \| \mathbf{u} + \mathbf{v} \|_2 \leq \| \mathbf{u} \|_2 + \| \mathbf{v} \|_2 \).
### 2. L¹ 노름 (맨해튼 노름)
\[
\| \mathbf{x} \|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|
\]
여기서 삼각 부등식은 절댓값의 삼각 부등식 \( |a + b| \leq |a| + |b| \)를 각 성분에 적용하여 쉽게 증명된다.
\[
\| \mathbf{u} + \mathbf{v} \|_1 = \sum_{i=1}^n |u_i + v_i| \leq \sum_{i=1}^n (|u_i| + |v_i|) = \| \mathbf{u} \|_1 + \| \mathbf{v} \|_1
\]
### 3. L∞ 노름 (최대 노름)
\[
\| \mathbf{x} \|_\fty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|
\]
이 경우,
\[
|u_i + v_i| \leq |u_i| + |v_i| \leq \| \mathbf{u} \|_\infty + \| \mathbf{v} \|_\infty
\]
모든 \( i \)에 대해 성립하므로,
\[
\| \mathbf{u} + \mathbf{v} \|_\infty = \max_i |u_i + v_i| \leq \| \mathbf{u} \|_\infty + \| \mathbf{v} \|_\infty
\]
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## 역삼각 부등식
삼각 부등식과 관련된 또 다른 유용한 부등식으로 **역삼각 부등식**(Reverse Triangle Inequality)이 있다. 이는 다음과 같이 표현된다:
\[
\big| \| \mathbf{u} \| - \| \mathbf{v} \| \big| \leq \| \mathbf{u} - \mathbf{v} \|
\]
이 부등식은 두 벡터의 노름 차이가 그 차 벡터의 노름보다 클 수 없다는 것을 의미하며, 거리 함수의 연속성 증명 등에 자주 사용된다.
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## 응용
- **거리 함수 정의**: 노름으로부터 유도되는 거리 \( d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \| \mathbf{u} - \mathbf{v} \| \)는 삼각 부등식을 만족해야 하며, 이는 거리공간의 정의에 필수적이다.
- **수렴성 분석**: 수열의 노름 수렴을 다룰 때, 삼각 부등식은 오차의 상한을 추정하는 데 사용된다.
- **최적화 문제**: 목표 함수 또는 제약 조건에서 노름을 사용할 때, 삼각 부등식은 해의 존재성과 수렴성을 보장하는 데 기여한다.
- **기계학습**: 정규화(regularization) 기법(L1, L2 정규화)에서 노름의 성질이 중요하며, 삼각 부등식은 모델의 안정성 분석에 활용된다.
---
## 참고 자료
- Axler, Sheldon. *Linear Algebra Done Right*. Springer, 2015.
- Strang, Gilbert. *Introduction to Linear Algebra*. Wellesley-Cambridge Press, 2016.
- Rudin, Walter. *Principles of Mathematical Analysis*. McGraw-Hill, 1976.
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## 관련 문서
- [노름 (수학)](https://ko.wikipedia.org/wiki/노름_(수학))
- [거리공간](https://ko.wikipedia.org/wiki/거리공간)
- [코시-슈바르츠 부등식](https://ko.wikipedia.org/wiki/코시-슈바르츠_부등식)
- [벡터 공간](https://ko.wikipedia.org/wiki/벡터_공간)